환(대수학)은 수학의 한 분야로, 대수 구조의 일종인 환을 연구하는 학문이다. 환은 집합과 이 집합 위에 정의된 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)으로 구성된다. 이 두 연산은 다음과 같은 성질을 만족해야 한다.

1. 덧셈에 대한 성질:

- 닫힘: 두 원소의 합은 항상 환 내에 존재한다.

- 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)

- 교환법칙: a + b = b + a

- 항등원 존재: 환 내에 0이라고 하는 원소가 존재하여, 모든 원소 a에 대해 a + 0 = a가 성립한다.

- 역원 존재: 각 원소 a에 대해 a에 대한 역원, 즉 -a가 존재하여 a + (-a) = 0이다.

2. 곱셈에 대한 성질:

- 닫힘: 두 원소의 곱은 항상 환 내에 존재한다.

- 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)

- 항등원 존재: 환 내에 1이라고 하는 원소가 존재하여, 모든 원소 a에 대해 a * 1 = a가 성립한다.

- 분배법칙: a * (b + c) = a * b + a * c

환의 예로는 정수, 유리수, 실수, 복소수 등이 있으며, 이들은 덧셈과 곱셈에 대해 환의 성질을 만족한다. 환은 또한 여러 가지 특별한 형태로 나뉘기도 한다. 예를 들어, 가환환은 곱셈이 교환 법칙을 만족하는 환이다. 비가환환은 그렇지 않은 경우이다. 단위원이 존재하는 환은 유닛을 가진 환이라고 불리며, 이러한 환에서 역원이 존재하는 원소를 유닛이라고 한다.

환의 이론은 추상 대수학의 기초가 되며, 수론, 대수기하학, 선형대수학 등 다양한 수학 분야와 밀접하게 연결되어 있다. 환의 구조를 이용한 이론적 연구는 방정식의 해를 구하거나, 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.