선형대수학은 수학의 한 분야로, 벡터, 벡터 공간, 선형 변환 및 행렬을 연구하는 학문이다. 이론적으로는 수학의 여러 분야와 연관되어 있으며, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 응용된다. 선형대수학의 기본 개념은 선형 방정식 체계를 풀고, 벡터 공간의 구조를 이해하는 데 중점을 둔다.

선형대수학의 가장 핵심적인 요소 중 하나는 벡터이다. 벡터는 방향과 크기를 가진 수학적 객체로, 일반적으로 숫자들의 정렬로 표현된다. 벡터는 실수 또는 복소수 값들을 가질 수 있으며, 다양한 차원을 가질 수 있다. 이 벡터들은 선형 결합, 내적, 외적 등 다양한 연산을 통해 서로 관계를 맺는다. 이러한 연산들은 선형대수학에서 중요한 역할을 하며, 물리를 포함한 여러 학문에서 벡터의 개념을 그다지 유용하게 만든다.

행렬은 선형대수학의 또 다른 중요한 개념이다. 행렬은 숫자가 사각형 형태로 배열된 것으로서, 선형 변환을 나타내는 데 사용된다. 행렬을 사용하면 복잡한 선형 방정식 시스템을 간편하게 표현하고 풀 수 있다. 행렬의 기본 연산인 덧셈, 곱셈, 그리고 역행렬 계산은 선형대수학의 기본 사항이다. 행렬식은 행렬의 성질을 정의하며, 선형 시스템의 해의 존재성과 유일성을 결정하는 데에도 사용된다.

또한, 선형대수학은 고유값과 고유벡터의 개념을 통해 더욱 심화된다. 고유값과 고유벡터는 특정 행렬에 대해 그 행렬의 변환이 어떤 성질을 가지는지를 파악하는 데 중요한 정보를 제공한다. 이런 개념들은 데이터 분석, 이미지 처리, 통계학 등 다양한 현대 분야에서도 널리 활용된다. 선형대수학은 이러한 이론을 통해 데이터의 구조를 이해하거나 문제를 해결하는 데 필수적인 수단으로 자리잡고 있다.