실수(Real Number)는 수학에서 여러 종류의 수를 포함하는 집합으로, 유리수와 무리수를 모두 포함한다. 실수는 수직선 위의 모든 점에 대응할 수 있으며, 이는 실수의 연속성을 의미한다.

유리수는 두 정수의 비율로 표현될 수 있는 수로, 분수 형태 a/b (단, b ≠ 0)로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1/2, -3, 0.75 등은 모두 유리수이다. 반면, 무리수는 정수 또는 유리수로 표현할 수 없는 수로, 대표적인 예로 √2, π, e 등이 있다. 이들 무리수는 소수점 아래로 끝나지 않고 주기적이지 않다.

실수는 수학적 연산에서 필수적인 역할을 하며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기본 연산을 수행할 수 있다. 또한, 실수는 대수적 구조를 가지고 있어, 실수 전체 집합은 체(구조)를 이룬다. 즉, 실수는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원 및 역원을 가지며, 이는 실수의 계산을 시스템적으로 가능하게 한다.

실수는 또한 해석학, 미적분학, 대수학 등 다양한 수학 분야에서 중요한 개념으로 사용된다. 실수의 집합은 기호 ℝ로 표현되며, 수학 적 기호와 기하학적 개념을 통해 자연수, 정수, 유리수, 무리수를 포함하는 더욱 넓은 수 개념으로 자리 잡고 있다.