오일러 등식(Euler's formula)은 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하는 관계식으로, 복소수와 지수함수, 삼각함수 사이의 깊은 연관성을 보여준다. 이 등식은 다음과 같은 형태를 가진다. \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 여기서 \( e \)는 자연상수, \( i \)는 허수 단위, \( x \)는 실수다. 이 등식은 복소수 해석학의 기초를 형성하며, 수학뿐만 아니라 물리학, 공학 등 여러 분야에서도 널리 응용된다.

오일러 등식은 레온하르트 오일러가 18세기 중반에 처음 발견한 것으로 알려져 있다. 그는 복소수의 지수함수를 다루면서 이와 같은 아름다운 관계식을 발견하게 되었다. 오일러 등식에 의해, 복소수의 제곱인 \( e^{ix} \)는 실제 부분인 \( \cos(x) \)와 허수 부분인 \( i\sin(x) \)로 나타낼 수 있다는 것을 보여준다. 이 관계는 다양한 삼각 함수와 지수 함수에 대한 이해를 돕는 데 매우 유용하다.

이 등식은 특히 오일러의 공식을 포함한 여러 수학적 결과를 도출하는 데 필수적인 역할을 한다. 예를 들어, 오일러의 공식에 따라 부호가 반대인 두 삼각 함수의 더하기 각의 항등식이 성립하며, 이는 푸리에 급수 개발에도 중요한 기초가 된다. 또한, 오일러 등식은 복소평면에서 회전의 개념과 관련되어 있어서 물리학적 문제를 해결하는 데도 유용하게 사용된다.

오일러 등식은 심지어 수학적 아름다움을 지닌 것으로 여겨진다. \( e^{i\pi} + 1 = 0 \)이라는 표현식이 이 등식의 직접적인 결과로 도출되며, 이는 수학에서 가장 아름다운 공식 중 하나로 손꼽힌다. 이 식은 수학의 다섯 가지 기본 상수(0, 1, \( e \), \( i \), \( \pi \))를 연결 지으며, 이들 사이의 관계를 간명하게 나타낸다. 이런 이유로 오일러 등식은 단순한 수학적 공식 이상의 존재로 평가되고 있다.