오일러 공식(Euler's formula)은 복소수와 지수 함수, 삼각 함수 사이의 깊은 관계를 밝혀주는 중요한 수학적 공식이다. 이 공식은 다음과 같은 형태로 표현된다. \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \). 여기서 \( e \)는 자연로그의 밑으로 약 2.71828이며, \( i \)는 허수 단위를 의미한다. 이 공식은 \( x \)가 실수일 때 성립하며, 복소수의 분석과 고급 수학의 여러 분야에서 널리 사용된다.

오일러 공식은 18세기 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 처음으로 정리되었다. 이는 복소수 지수 함수와 삼각 함수 간의 관계성을 제시하여 수학의 많은 분야에서 활용되기 시작했다. 예를 들어, 신호 처리, 전기 공학, 제어 이론 등 다양한 과학 및 공학 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.

오일러 공식은 또한 특정 각도에 대해 여러 특징적인 값을 제공한다. 예를 들어, \( x = \pi \)일 경우, \( e^{i\pi} + 1 = 0 \)이라는 유명한 식이 도출되며, 이를 오일러의 정리(Euler's identity)라고 부른다. 이 정리는 수학적 아름다움과 간결성을 동시에 갖춘 등식으로 널리 알려져 있다. 이는 복소수, 무리수, 정수, 그리고 0이라는 다양한 수의 형태가 모두 한 식으로 연결되어 있어, 많은 수학자들에게 깊은 인상을 남겼다.

오일러 공식은 복소수 함수를 다루는 수학적 기법에서도 중요한 역할을 한다. 복소수의 거듭제곱이나 삼각함수를 복소수로 일반화할 때, 오일러 공식은 필수적으로 사용된다. 이를 통해, 복소수 해석 및 동역학 시스템의 분석에서의 측정이나 진동수의 표현 등 수많은 응용 분야에서 활용되고 있다. 이러한 다양성 덕택에 오일러 공식은 수학의 여러 분야에서 중심적인 위치를 차지하고 있다.