선택공리(選擇公理, Axiom of Choice)는 집합론에서 중요한 원리로, 모든 집합족(집합의 모임)에서 각 집합의 원소를 하나씩 선택할 수 있는 방법이 항상 존재한다고 주장하는 공리이다. 이는 주로 무한 집합에 대한 선택 과정에서 유용하게 활용된다.

선택공리는 수학의 여러 분야, 특히 위상수학, 대수학, 해석학 등에서 필수적으로 적용된다. 이 공리는 다음과 같은 형식으로 표현된다: 임의의 비어있지 않은 집합족이 주어졌을 때, 각 집합의 원소에서 하나씩 선택하는 집합이 존재한다는 것이다.

선택공리는 여러 다른 수학적 결과와 연결되어 있다. 예를 들어, 선택공리를 가정하면 자명하게 0의 차원이 되는 모든 벡터 공간은 기저를 가지며, 이는 가역적 성질을 가진다. 또한, 선택공리가 없다면 어떤 집합의 원소를 선택하는 일이 불가능할 수 있으며, 이는 집합론의 기초에 많은 영향을 미친다.

선택공리는 때때로 직관적이지 않게 느껴지기도 하며, 그에 따라 논리학에서는 '강력한 공리'로 인식된다. 이 공리에 대한 다양한 논의는 수학적 논증의 기초를 형성하면서도 수학자들 간의 의견 차이를 불러일으키기도 했다. 특히, 선택공리의 수용 여부는 오일러의 공리나 다른 수학적 원리와 연결되어, 다양한 대수적 구조와 위상적 성질의 이해에 기여한다.

결론적으로, 선택공리는 현대 수학의 기초를 이루는 핵심적인 원리이며, 수많은 수학적 결과와 이론의 발전에 필수적으로 기여하고 있다.