사인( Sine, sin )은 수학에서 주로 삼각함수의 하나로, 직각삼각형의 한 각도의 대변과 빗변의 길이의 비율로 정의된다. 직각삼각형에서 한 각 θ의 사인은 다음과 같은 관계로 정의된다:

\[

\sin(θ) = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}

\]

사인은 각도를 입력으로 받아 출력으로는 -1과 1 사이의 값을 가지며, 각도가 0도에서 360도까지 변화할 때 주기성을 나타낸다. 사인의 주기는 2π 라디안, 즉 360도이다.

사인은 주로 미적분학, 물리학, 공학 등 여러 분야에서 주기적인 현상이나 파동을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어, 정현파의 형태로 나타나는 소리나 빛의 파동과 같은 주기적인 현상은 사인을 통해 수학적으로 표현될 수 있다.

사인의 그래프는 주기함수로서, X축에 대해 대칭적이며, 주기 구간 내에서는 0에서 1로 증가했다가 1에서 0으로 감소하며, 다시 0에서 -1로 감소하고 다시 -1에서 0으로 증가하는 형태를 가진다. 이러한 특성 때문에 사인은 파동함수 및 다양한 물리적 현상 모델링에 필수적인 함수로 자리잡고 있다.

또한, 사인은 피타고라스 정리에 연관되어 있으며, 아래와 같은 중요한 관계식을 가진다:

\[

\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1

\]

여기서 cos(θ)는 코사인 함수로, 직각삼각형에서 한 각도의 인접변과 빗변의 비율을 나타낸다.

사인의 역사적 기원은 고대 그리스 수학과 관련이 있으며, 인도와 아랍 수학자들에 의해 발전되어 왔다. 현대에는 수치해석, 컴퓨터 그래픽스 및 신호 처리 등 다양한 분야에서 사용된다.