노름(수학)은 주어진 벡터 공간에서 벡터의 크기나 길이를 측정하는 함수이다. 노름은 일반적으로 실수 또는 복소수 벡터의 집합에 정의되며, 주로 세 가지 조건을 만족해야 한다.

첫째, 비부정성(non-negativity)이다. 이는 모든 벡터의 노름이 0이 될 수 없고, 노름이 0이 되는 경우는 해당 벡터가 영벡터일 때만 가능하다는 의미이다.

둘째, 동차성(absolute scalability)이다. 이는 스칼라와 벡터의 곱에 대한 성질로, 어떤 스칼라 α와 벡터 v에 대해 ||αv|| = |α| ||v||가 성립해야 한다는 것을 의미한다.

셋째, 삼각 부등식(triangle inequality)이다. 이는 두 벡터 u와 v에 대해 ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||가 성립해야 함을 나타낸다.

가장 일반적인 노름 중 하나는 유클리드 노름(Euclidean norm)으로, n차원 공간에서 벡터 v = (v₁, v₂, ..., vₙ)에 대해 ||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)로 정의된다.

다른 종류의 노름으로는 맥시멈 노름(maximum norm)이나 1-노름(Manhattan norm)이 있다. 1-노름은 ||v||₁ = |v₁| + |v₂| + ... + |vₙ|로 정의되며, 최대 노름은 ||v||∞ = max(|v₁|, |v₂|, ..., |vₙ|)으로 나타낸다.

노름은 다양한 수학적 이론 및 응용 분야에서 중요한 역할을 하며, 기하학, 대수학, 해석학 등 여러 분야에서 유용하게 사용된다.