1의 거듭제곱근은 복소수 범위에서 방정식 $x^n = 1$($n$은 양의 정수)을 만족하는 수 $x$를 의미한다. 대수학의 기본 정리에 따라 이 방정식은 복소수 평면 위에서 정확히 $n$개의 해를 갖는다. 이러한 해들은 단위 원 위의 점들로 나타나며, 수학의 여러 분야에서 중요한 기초 개념으로 활용된다. 특히 오일러 공식을 통해 지수 함수와 삼각 함수의 관계로 표현될 수 있어 해석학 및 수론에서 핵심적인 역할을 수행한다.

1의 $n$거듭제곱근을 구체적으로 구하기 위해서는 드 무아브르의 정리와 오일러의 공식을 이용한다. $x^n = 1$의 해는 $z_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$ 또는 지수 형식인 $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$으로 표현할 수 있으며, 이때 $k$는 $0$부터 $n-1$까지의 정수이다. $k=0$일 때의 해는 항상 실수 1이 되며, $n$이 짝수일 경우에는 $k=n/2$일 때 실수 -1이 또 다른 해로 존재하게 된다. 그 외의 해들은 켤레복소수 쌍으로 존재하며 허수 성분을 포함한다.

기하학적 관점에서 1의 $n$거듭제곱근은 복소평면 위의 반지름이 1인 단위 원 위에 위치한다. 이 $n$개의 점들은 원주를 $n$등분하며, 각 점을 연결하면 원에 내접하는 정$n$각형의 꼭짓점을 형성한다. 예를 들어 $n=3$일 때는 정삼각형, $n=4$일 때는 정사각형의 꼭짓점이 된다. 이러한 대칭성은 푸리에 변환이나 신호 처리 분야에서 이산적인 데이터를 처리할 때 매우 유용한 수학적 구조를 제공한다.

1의 $n$거듭제곱근 중에서 $\omega^k$($k=1, 2, \dots, n-1$) 형태의 거듭제곱을 통해 모든 $n$개의 거듭제곱근을 생성할 수 있는 원소를 '원시 $n$거듭제곱근'이라고 부른다. 원시 거듭제곱근은 $k$와 $n$이 서로소일 때 결정되며, 이는 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 정의와 밀접하게 연관된다. 원분다항식은 계수가 정수인 기약 다항식으로서 대수적 수론과 갈루아 이론에서 체의 확장을 연구하는 데 필수적인 도구로 쓰인다.

1의 거듭제곱근은 대수적으로 독특한 성질을 지닌다. 모든 $n$개의 거듭제곱근의 합은 $n > 1$일 때 항상 0이 된다. 이는 다항식 $x^n - 1 = 0$에서 근과 계수의 관계를 통해 쉽게 증명할 수 있으며, 기하학적으로는 정$n$각형 꼭짓점들의 무게중심이 원점임을 의미한다. 또한 이들의 곱은 $n$의 홀짝 여부에 따라 1 또는 -1이 된다. 이러한 성질들은 현대 수학의 이산수학, 부호 이론, 그리고 암호학 등 다양한 응용 수학 분야에서 논리적 근거로 차용된다.