허수란 수학에서 실수와 구별되는 개념으로, 복소수 체계에서 중요한 역할을 한다. 일반적으로 허수는 기호 i를 사용하여 표현되며, 이 i는 i^2 = -1의 성질을 가진 수이다. 허수는 복소수의 형식인 a + bi의 형태로 나타내어지는데, 여기서 a는 실수 부분, b는 허수 부분이다. 허수는 고등학교 수학에서 처음 소개되며, 이후 대수학, 해석학, 공학 등 다양한 분야에서 필수적으로 다루어지는 주제이기도 하다.

허수의 도입은 복소수의 개념을 통해 수학의 범위를 확장하는 데 중요한 기여를 했다. 실수만으로는 해결할 수 없는 다양한 문제, 특히 2차 방정식의 해를 찾는 데 있어 허수를 사용함으로써 모든 다항식의 근에 대한 이론적 근거를 마련할 수 있었다. 예를 들어, 실수 a와 b가 주어졌을 때, x^2 + a = 0의 해가 존재하지 않을 수 있는데, 이 경우 허수를 사용하면 x = ±√(-a)라는 해를 도출할 수 있다. 이를 통해 복소수는 수학 이론에서 불가결한 요소가 되었다.

허수는 또한 전기공학, 물리학 등에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 회로 이론에서는 임피던스 개념을 설명하는 데 허수가 사용된다. 토대가 되는 실수 축과는 달리, 허수 축은 주파수 영역에서의 현상이나 파동을 분석하는 데 용이하다. 이러한 이유로 허수는 주파수 분석, 신호 처리 등에서 매우 유용한 도구로 활용된다. 물리학에서는 양자역학에서도 허수가 중요한 역할을 하며, 파동 함수를 설명하는 데 기여한다.

허수의 개념은 수학적 미적분학에서도 필수적인 요소로 자리 잡고 있다. 복소 함수론은 허수를 기반으로 하여 복소수 변수에 대한 함수의 성질을 탐구하며, 분석적 함수의 개념, 경로적분, 코시의 적분 정리 등 다양한 주제를 포함한다. 이러한 연구는 수학의 기초와 응용 분야 모두에 획기적인 발전을 가져왔으며, 현대 수학의 중요한 이론적 기초를 형성하는 데 기여하고 있다. 허수는 단순한 수학적 추상성을 넘어, 현실 세계의 다양한 현상을 이해하는 데 필수적인 도구로 자리잡고 있다.