행렬식은 정사각행렬에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수로, 선형대수학에서 행렬의 특성을 파악하는 데 필수적인 도구이다. 기호로는 $|A|$ 또는 $\det(A)$와 같이 표기한다. 이는 행렬이 나타내는 선형 변환의 가역성 여부를 결정하며, 행렬의 성분들이 선형적으로 독립인지 혹은 종속인지를 판별하는 척도가 된다.

기하학적 관점에서 행렬식은 선형 변환을 통해 변화하는 공간의 부피 확대율을 의미한다. 2차원 공간에서 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이는 해당 벡터들을 열로 하는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식 절댓값과 같으며, 3차원에서는 평행육면체의 부피에 대응한다. 행렬식의 부호는 변환 후의 방향성을 나타내는데, 값이 양수이면 원래의 방향을 유지하고 음수이면 방향이 반전되었음을 뜻한다. 행렬식의 값이 0이라는 것은 부피가 소멸했음을 의미하며, 이는 행렬이 공간의 차원을 축소시켜 역변환이 불가능한 상태임을 시사한다.

행렬식을 계산하는 방법은 행렬의 크기에 따라 정의된다. $2 \times 2$ 행렬의 경우 주대각선 성분의 곱에서 반대 대각선 성분의 곱을 빼는 방식으로 계산한다. 더 큰 차원의 행렬에 대해서는 여인수 전개(Laplace expansion)를 사용하여 차수를 점진적으로 낮추며 계산하거나, 모든 가능한 치환을 고려하는 라이프니츠 공식을 적용한다. 실제 수치 계산에서는 계산 효율을 높이기 위해 가우스 소거법을 이용하여 행렬을 상삼각행렬로 변환한 뒤 대각 성분들을 모두 곱하는 방식이 주로 사용된다.

행렬식은 역행렬의 존재 여부를 판별하는 핵심 기준이 된다. 행렬 $A$의 행렬식이 0이 아니면 $A$는 가역 행렬(정칙 행렬)이며 역행렬이 존재한다. 반대로 행렬식이 0이면 그 행렬은 특이 행렬이 되어 역행렬을 가질 수 없다. 또한 행렬식은 곱셈에 대해 보존되는 성질이 있어, 두 행렬의 곱 $AB$의 행렬식은 각 행렬의 행렬식을 곱한 값과 같다. 전치 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 동일하며, 행렬의 한 행에 상수를 곱하면 행렬식의 값도 그 상수의 배수만큼 변하는 선형적 특성을 가진다.

이 개념은 수학뿐만 아니라 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 광범위하게 응용된다. 연립일차방정식의 해를 구하는 크라메르 법칙(Cramer's rule)의 기초가 되며, 선형 변환의 고윳값을 구하기 위한 특성방정식을 세울 때도 행렬식이 사용된다. 다변수 미적분학에서는 변수 변환 시 적분 영역의 크기 변화를 보정하는 야코비 행렬식(Jacobian)으로 등장하여 다중적분 계산을 가능하게 한다.