행렬(수학)은 숫자, 기호, 또는 식을 직사각형 형태로 배열한 것으로, 주로 선형 대수학에서 중요한 역할을 한다. 행렬은 여러 개의 요소를 정리하고 조작하는 데 유용하며, 컴퓨터 그래픽스, 통계학, 물리학 등 다양한 분야에서 응용된다. 기본적으로 행렬은 행(row)과 열(column)로 구성되어 있으며, m행 n열의 행렬은 m개의 행과 n개의 열을 가진다.

행렬의 연산에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 스칼라 곱, 전치(transpose) 등이 있다. 두 개의 행렬을 더하거나 빼는 것은 동일한 차원을 가진 경우에만 가능하다. 행렬의 곱셈은 더 복잡한데, 첫 번째 행렬의 열의 수가 두 번째 행렬의 행의 수와 같아야 한다. 이러한 연산들은 선형 방정식의 해를 구하는 데 있어서 매우 중요한 도구로 자리 잡고 있다.

행렬의 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 선형 변환을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 특정 행렬 A에 대해 고유값 λ와 고유벡터 v는 Av = λv의 관계를 만족한다. 고유값 분석은 시스템의 안정성, 요동 분석 등 여러 과학적 문제에서 유용하게 사용되며, 데이터 분석에서는 주성분 분석(PCA)과 같은 기법에서 활용된다.

행렬은 대수학적 성질 외에도 기하학적 해석이 가능하다. 예를 들어, 2차원 평면에서의 회전, 축 이동, 확대 및 축소 등의 변환을 행렬로 표현할 수 있다. 이러한 기하학적 이해는 컴퓨터 그래픽스와 비주얼라이제이션에서 필수적이며, 실제 모델링과 시뮬레이션 과정에서도 매우 유용하게 이용된다. 행렬의 개념은 현대 수학과 과학의 기초를 이루며, 복잡한 문제를 단순화하고 해결하는 데 큰 기여를 하고 있다.