항등함수(identity function)는 수학에서 가장 기본적인 형태의 함수 중 하나다. 항등함수는 주어진 집합의 각 원소를 그 자신에게 대응시키는 함수다. 즉, 임의의 집합 \(X\)에 대해 항등함수 \( \text{id}_X : X \to X \)는 정의역의 모든 원소 \( x \in X \)에 대해 \( \text{id}_X(x) = x \)가 성립하는 함수다.

항등함수의 주요 성질은 다음과 같다:

1. 자기합성: 항등함수는 자기 자신과 합성했을 때도 동일한 항등함수를 얻는다. 즉, \( \text{id}_X \circ \text{id}_X = \text{id}_X \)가 성립한다.

2. 단위원소: 함수의 합성 연산에 있어서 항등함수는 단위원소의 역할을 한다. 임의의 함수 \( f : X \to Y \)와 \( g : Y \to X \)에 대해 \( f \circ \text{id}_X = f \) 및 \( \text{id}_Y \circ f = f \)가 성립한다.

3. 가역성: 항등함수는 항상 가역함수이며, 역함수도 항등함수다. 즉, \( \text{id}_X^{-1} = \text{id}_X \)다.

항등함수는 대수학, 해석학, 위상수학 등 다양한 수학 분야에서 기본적으로 사용된다. 특히 범주론에서 항등사상은 각 대상에 대해 항상 존재하는 기본적인 사상으로 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 범주 \( \mathbf{C} \)의 임의의 대상을 \( A \)라고 할 때, 항등사상 \( \text{id}_A: A \to A \)는 그 범주의 정의상 반드시 존재하는 사상이다.