푸앵카레 원반(Poincaré disk)은 3차원 유클리드 공간에서의 점을 2차원 망입에서 나타내기 위해 사용하는 모델로, 비유클리드 기하학의 한 예로 분류된다. 이 모델은 하이퍼볼릭 기하학을 시각화하는 데 사용되며, 모든 점은 원판의 내부에 위치하게 된다.

푸앵카레 원반의 특징은 원판 내부의 모든 점이 하이퍼볼릭 평면의 점과 1:1로 대응되며, 이 원판의 경계는 하이퍼볼릭 평면의 무한한 점들을 나타낸다. 원판 내부에서의 두 점 사이의 거리와 각도는 하이퍼볼릭 기하학의 법칙을 따르며, 따라서 Euclidean 기하학의 유클리드 거리와는 다르게 정의된다.

푸앵카레 원반에서는 직선이 원판 내부의 호로 나타나며, 이는 원판의 경계에 수직으로 만나는 특성을 가진다. 이러한 구성을 통해, 푸앵카레 원반 모델은 하이퍼볼릭 기하학의 성질을 효과적으로 보여주며, 복소 평면 및 군론, 그리고 복잡한 네트워크 이론 등 다양한 수학적 연구와 이론에 활용된다.

푸앵카레 원반은 하이퍼볼릭 공간의 직관적인 시각화를 제공하며, 다양한 분야의 연구자들에게 유용한 도구로 자리 잡고 있다.