푸아송 괄호(Poisson bracket)는 심플한 해석적 또는 함수적 형태로 두 함수 간의 결합과 변환 관계를 나타내는 수학적 구조이다. 물리학, 특히 해양역학과 고전역학에서 동역학적 시스템의 해를 다루는 데 중요한 역할을 하며, 양자역학에서도 유사한 개념이 나타난다.

푸아송 괄호는 주로 두 개의 함수 \( f \)와 \( g \)에 대해 정의되며, 각각의 함수는 일반화된 좌표 \( q_i \)와 일반화된 운동량 \( p_i \)에 의존한다. 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다:

\[

\{f, g\} = \sum_{i} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right)

\]

여기서 \( i \)는 시스템의 차원에 해당하며, \( \partial \)는 편미분을 나타낸다. 이 정의에 따르면, 푸아송 괄호는 두 함수의 동적거동 간의 상호작용을 나타내며, 특히 해밀턴의 운동 방정식과 관련이 깊다.

푸아송 괄호의 중요한 성질 중 하나는 항등성이다. 즉, 푸아송 괄호는 스칼라 함수에 대해 반대칭적이고, 자기 결합을 만족하며, 연산의 선형성을 가진다. 이러한 성질들 덕분에 푸아송 괄호는 리 대수 구조를 가진다.

또한, 푸아송 괄호는 동역학 시스템의 변환을 다룰 때 보존량과의 관계를 설명하는 데 유용하다. 보존량의 푸아송 괄호가 0이라면, 두 보존량이 서로 비축적이라는 것을 의미한다. 이로 인해, 푸아송 괄호는 시스템의 대칭성과 보존 법칙의 분석에 중요한 도구로 활용된다.

결론적으로, 푸아송 괄호는 동역학적 시스템에 대한 깊은 통찰을 제공하는 수학적 도구이며, 다양한 물리적 상황에서 중요한 역할을 수행한다.