평균값 정리는 미적분학에서 중요한 개념으로, 연속 함수의 평균값과 도함수의 관계를 설명한다. 이 정리는 함수가 연속이고 미분 가능하다는 두 가지 조건을 만족할 때 적용된다.

구간 [a, b]에 대해, f(x)가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능할 때, 평균값 정리에 따르면, 구간 [a, b] 내의 어떤 점 c가 존재하여 다음의 식이 성립한다:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

이 식은 함수 f(x)의 평균 변화율이 구간 [a, b]에서의 기울기인 (f(b) - f(a)) / (b - a)와 같아지는 점 c가 존재함을 나타낸다. 즉, 평균값 정리는 함수의 미분이 특정한 점에서의 기울기와 관련이 있음을 보여준다.

이 정리는 다양한 분야에서 활용되며, 예를 들어 물리학에서 속도와 위치의 관계를 이해하는 데 사용된다. 또한 평균값 정리는 롤의 정리와도 밀접한 관련이 있다. 롤의 정리는 함수의 두 끝점에서 값이 같을 때, 그 사이의 어떤 점에서 도함수가 0이 되는 점이 존재함을 성립시킨다. 평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 형태로 볼 수 있다.