페르마의 두 제곱수 정리는 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(1601-1665)가 제안한 정리로, 어떤 자연수가 두 개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있는지를 다룬다. 이 정리는 "모든 홀수 자연수는 두 개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있다"는 주장으로 요약된다. 이 정리는 수론의 한 분야에서 중요한 역할을 하며, 여러 수학적 문제와 연관이 있다.

정리의 구체적인 내용은 다음과 같다. 어떤 홀수 자연수 \( n \)이 주어졌을 때, \( n \)은 두 개의 제곱수 \( a^2 \)와 \( b^2 \) (단, \( a \)와 \( b \)는 자연수이거나 0인 정수)로 표현될 수 있다. 예를 들어, 5는 \( 1^2 + 2^2 \)로 표현될 수 있고, 13은 \( 2^2 + 3^2 \)로 표현된다. 이러한 사례들 덕분에 이 정리는 여러 수의 성질을 이해하는 데 기여했다.

페르마는 자신의 정리를 증명하지 않았고, 그의 주장은 이후 다른 수학자들에 의해 검증과 증명이 이루어졌다. 이 정리의 증명은 수많은 수학자들이 도전하는 과제가 되었고, 20세기에는 다양한 방법들이 개발되었다. 특히, '레이싱기법'이라 불리는 접근법이 이 정리와 관련하여 중요한 진전을 이뤘다. 이는 두 제곱수의 결합을 통해 새로운 수를 만들어내는 방식으로, 수론의 여러 문제에 광범위하게 적용된다.

페르마의 두 제곱수 정리는 단순히 수의 분해에 그치지 않고, 더 깊은 수학적 구조를 탐구할 수 있는 기초를 제공한다. 이 정리는 다수의 수학적 결과들과 연결되며, 특히 피타고라스 수와 관련된 연구에 큰 영향을 미쳤다. 두 제곱수 정리를 통해 다뤄지는 수학적 개념들은 현대 수론 및 대수학의 여러 분야에서 여전히 중요한 역할을 하고 있으며, 그 의미와 응용은 시간이 지남에 따라 더욱 확장되고 있다.