카탈랑 상수(Catalan's constant)는 수학의 해석학, 조합론, 수론 등 다양한 분야에서 등장하는 중요한 수학 상수 중 하나이다. 주로 대문자 $G$로 표기하며, 벨기에의 수학자 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)의 이름을 따서 명명되었다. 이 상수는 교대급수의 형태로 정의되며, 구체적인 급수식은 $n$이 0부터 무한대까지 변할 때 $(-1)^n / (2n+1)^2$을 모두 더한 값과 같다. 즉, $1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + \dots$의 합을 의미하며, 소수점 아래 약 0.915965594...의 값을 가진다.

이 상수는 디리클레 베타 함수 $\beta(s)$의 $s=2$일 때의 값으로 정의되기도 한다. 적분 형태로도 다양하게 표현될 수 있는데, 가장 대표적인 것은 0부터 1까지 $\arctan(x)/x$를 적분한 값이다. 또한 0부터 $\pi/4$까지 $\ln(\tan(x))$의 절댓값을 적분하여 얻는 값의 음수 형태로도 나타낼 수 있다. 이러한 다양한 적분 표현 방식 덕분에 복잡한 정적분 값을 계산하거나 특수 함수 사이의 관계를 규명할 때 카탈랑 상수가 빈번하게 사용된다.

카탈랑 상수는 수학의 미해결 난제 중 하나와 깊은 관련이 있다. 현재까지 이 상수가 무리수인지 혹은 초월수인지에 대한 여부는 공식적으로 증명되지 않았다. 수학자들은 이 상수가 무리수일 뿐만 아니라 초월수일 것으로 강력하게 추측하고 있으나, 리만 제타 함수의 특정한 값들이나 다른 주요 상수들과 달리 그 성질에 대한 증명은 여전히 현대 수학의 과제로 남아 있다. 이러한 불확실성은 카탈랑 상수를 수학에서 가장 신비로운 상수 중 하나로 부각시킨다.

기하학과 수리 물리학 분야에서도 카탈랑 상수는 중요한 역할을 수행한다. 쌍곡 기하학에서 이상적 사면체(ideal tetrahedron)의 부피를 계산하는 식에 이 상수가 등장하며, 이는 공간의 곡률과 구조를 이해하는 데 기여한다. 통계 역학에서는 격자 모델의 엔트로피를 계산할 때 나타나기도 한다. 특히 평면 격자를 도미노 타일로 채우는 방법의 수를 구하는 문제(domino tiling problem)의 점근적 해를 구할 때 카탈랑 상수가 결정적인 상수로 포함된다.

현대에 이르러 컴퓨터를 이용한 수치 계산 기술이 발달함에 따라 카탈랑 상수의 소수점 아래 수치를 정밀하게 계산하려는 시도가 지속되고 있다. 현재는 수조 자리 이상의 값이 밝혀져 있으며, 이는 수치 해석적 알고리즘의 성능을 시험하거나 새로운 급수 전개식을 검증하는 지표로 활용된다. 비록 파이($\pi$)나 자연상수($e$)에 비해 일반인에게는 생소할 수 있으나, 카탈랑 상수는 고등 수학의 여러 식을 간결하게 표현하고 복잡한 물리 현상을 설명하는 데 필수적인 수치적 기초를 제공한다.