차원수란 수학 및 물리학에서 공간 내의 점의 위치를 나타내는 데 필요한 독립적인 좌표의 수를 의미한다. 일반적으로 0차원은 점, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 정의된다. 고전적인 유클리드 기하학에서 차원은 정수로 표현되며, 우리가 일상에서 경험하는 공간은 가로, 세로, 높이라는 세 개의 축으로 구성된 3차원 공간이다. 특정 공간의 차원수가 $n$이라는 것은 그 공간의 모든 점을 $n$개의 실수들의 집합으로 고유하게 식별할 수 있음을 뜻한다.

선형대수학에서 차원은 벡터 공간의 성질을 규정하는 핵심 요소로, 해당 공간의 기저(basis)를 이루는 벡터의 개수로 정의된다. 어떤 벡터 공간의 모든 원소를 유한한 개수의 독립적인 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있을 때, 그 기저 벡터의 수가 곧 해당 공간의 차원수가 된다. 위상수학에서는 르베그 피복 차원(Lebesgue covering dimension) 등을 통해 공간의 위상적 성질을 보존하는 방식의 차원 개념을 정립하며, 이는 공간이 연속적으로 변형되어도 변하지 않는 불변량의 역할을 한다.

물리학에서 차원은 계의 자유도를 나타내는 중요한 척도로 활용된다. 알베르트 아인슈타인의 상대성 이론에 따르면, 우리가 살아가는 우주는 3차원의 공간에 시간이라는 하나의 축이 더해진 4차원 시공간(spacetime)으로 해석된다. 현대 이론 물리학인 초끈 이론(string theory)이나 M-이론에서는 표준 모델의 물리적 모순을 해결하기 위해 우주가 10차원 혹은 11차원 이상의 고차원으로 이루어져 있을 가능성을 제기한다. 이때 관측되지 않는 여분의 차원은 미시적인 영역에 아주 작게 말려 있는 칼라비-야우 다양체 형태로 존재한다고 가설을 세운다.

전통적인 정수 차원의 개념을 넘어선 비정수(non-integer) 차원인 프랙탈 차원(fractal dimension)의 개념도 존재한다. 베누아 망델브로에 의해 정립된 프랙탈 구조는 자기 유사성을 가지며, 이를 분석할 때 사용되는 하우스도르프 차원은 물체의 복잡성을 정량화한다. 예를 들어 해안선의 길이나 구름의 형태와 같이 자연계에 존재하는 복잡한 구조물은 단순한 선이나 면으로 설명할 수 없으며, 1과 2 사이 혹은 2와 3 사이의 소수점 차원 값을 가짐으로써 그 기하학적 치밀함을 나타낸다.

컴퓨터 과학 및 데이터 사이언스 분야에서 차원은 데이터가 가지는 독립적인 변수나 특성(feature)의 개수를 의미한다. 수많은 변수를 가진 대규모 데이터를 다룰 때 차원이 높아질수록 데이터 포인트 사이의 거리가 급격히 멀어져 통계적 유의성이 떨어지는 '차원의 저주(curse of dimensionality)' 현상이 발생한다. 이를 극복하기 위해 주성분 분석(PCA)이나 t-SNE와 같은 차원 축소 기법을 사용하여, 고차원의 정보를 최대한 보존하면서도 시각화나 연산이 용이한 저차원 공간으로 데이터를 투영하여 분석한다.