조화수열은 수학에서 수열의 한 종류로, 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 의미한다. 즉, 조화수열의 각 항을 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)라고 할 때, 그 항들의 역수 \(1/a_1, 1/a_2, 1/a_3, \ldots\)가 등차수열을 이루면 이 수열을 조화수열이라고 한다.

등차수열은 일정한 차이(d)를 가지는 연속된 항들의 집합이다. 따라서 등차수열 \(\{d_1, d_2, d_3, \ldots\}\)에 대해, 모든 \(i\)에 대해 \(d_{i+1} - d_i = c\) (여기에서 \(c\)는 상수)인 수열을 말한다. 이에 따라, 조화수열 \(\{a_1, a_2, a_3, \ldots\}\)는 각 항의 역수들이 등차수열을 구성하므로, \(1/a_1, 1/a_2, 1/a_3, \ldots\)가 일정한 차이를 가진다면, 조화수열이라고 할 수 있다.

조화수열의 일반적인 형태는 다음과 같다:

\[

a_n = \frac{1}{d + (n-1)c}

\]

여기서 \(d\)와 \(c\)는 상수이며, \(n\)은 양의 정수이다. 이 식에서 \(d + (n-1)c\)가 0이 되어서는 안 된다. 이로 인해, 조화수열의 항은 유리수일 수도 있지만, 항상 그렇지는 않다.

조화수열의 예로는 다음과 같은 수열을 들 수 있다:

\[

a_n = \frac{1}{1 + (n-1)1} = \frac{1}{n}

\]

이 수열의 첫 번째 몇 개의 항을 나열하면 \(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\}\) 형태가 된다.

조화수열은 물리학이나 공학 등 여러 분야에서 유용하게 사용될 수 있다. 특히 파동의 간섭, 신호 처리, 금속 재료의 변형 등을 다루는 데 있어 중요한 역할을 한다.