제곱수(平方數)는 어떤 정수를 자가와 곱한 결과로 얻어지는 수를 의미한다. 일반적으로 "n"이라는 정수에 대해 n^2의 형태로 표현되며, 여기서 n은 양의 정수, 음의 정수 또는 0일 수 있다. 제곱수는 항상 비음수이며, 제곱수의 예로는 다음과 같다: 0(0^2), 1(1^2), 4(2^2), 9(3^2), 16(4^2), 25(5^2) 등이다.

제곱수의 성질 중 하나는 튜링이든 은하계 사용이든 모든 제곱수는 두 개의 동일한 정수의 곱으로 표현될 수 있다는 점이다. 예를 들어, 16은 4 x 4로, 25는 5 x 5로 표현된다. 또한, 제곱수들은 연속된 정수의 제곱으로 생성될 수 있다.

제곱수는 수학의 다양한 분야, 특히 정수론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 피타고라스의 정리에서는 직각삼각형의 변의 길이와 관련하여 제곱수가 활용된다. 또한, 제곱수는 수학적 패턴 및 수열의 분석에도 사용되며, 여러 수학적 문제와 정리에서도 중요한 개념으로 자리잡고 있다.

제곱수의 집합은 자연수 집합의 부분집합으로 볼 수 있으며, 이는 각 자연수가 제곱수로 표현될 수 있는 경우를 나타낸다. 제곱수의 차수와 관련된 많은 수학적 성질과 정리가 있으며, 이들은 수학적 탐구와 연구의 주제가 되고 있다.