제곱근행렬(Square Root Matrix)은 주어진 행렬을 제곱했을 때 원래 행렬이 되는 행렬을 의미한다. 즉, 행렬 \( A \)의 제곱근행렬 \( B \)는 다음과 같은 관계를 만족한다: \( B^2 = A \). 제곱근행렬은 대칭행렬, 비대칭행렬 등 다양한 형태로 존재할 수 있으며, 주로 실수 또는 복소수 행렬에서 연구된다.

제곱근행렬의 존재 여부는 주어진 행렬의 특성에 따라 달라진다. 예를 들어, 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)의 경우에는 항상 유일한 제곱근행렬이 존재하며, 이는 고유값 분해(principal component analysis)를 통해 쉽게 구할 수 있다. 모든 대칭행렬은 고유값이 실수이므로, 이러한 경우에도 제곱근행렬을 구할 수 있다.

제곱근행렬의 계산은 일반적으로 다음과 같은 절차로 진행된다. 먼저 주어진 행렬을 고유값 분해하여 고유값과 고유벡터를 구한 뒤, 고유값의 제곱근을 계산하고 이를 통해 새로운 행렬을 구성한다. 그러나 비대칭행렬의 경우에는 제곱근행렬의 존재가 보장되지 않으며, 존재할 경우에도 유일하지 않을 수 있다.

제곱근행렬은 다양한 분야에서 활용되며, 특히 물리학, 공학, 통계, 머신러닝 등에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, covariance matrix의 제곱근행렬은 데이터의 변동성을 이해하는 데 도움을 주며, 신경망에서는 가중치 초기화 과정에서 제곱근행렬이 사용되기도 한다.