정수론(數論, Number Theory)은 수학의 한 분야로, 정수의 성질과 관계를 연구하는 학문이다. 정수론은 주로 자연수, 정수 및 그들의 배수, 약수, 소수, 합성수 등을 다룬다. 여러 가지 정수의 성질을 분석하고, 이를 기반으로 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 기여한다.

정수론은 대수적, 해석적, 기하적 접근 방식을 포함하며, 고대 그리스 및 인도의 수학자들에게 그 기원을 두고 있다. 특히, 에라토스테네스의 체를 이용한 소수의 발견 방법과 같은 고전적인 기법들이 오늘날까지 영향을 미친다.

주요 주제 중 하나는 소수(素數, Prime number)로, 1과 자기 자신 이외의 약수를 가지지 않는 자연수이다. 소수는 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 암호학, 컴퓨터 과학 등에서도 응용된다.

또한, 정수론에서는 합동(合同)과 같은 개념이 중요하다. 이는 두 정수가 특정한 정수로 나누었을 때 같은 나머지를 가질 때 성립한다. 합동의 개념은 나머지 연산을 기반으로 하며, 모듈러 산술(modular arithmetic) 및 디오판트 방정식(Diophantine equations)과 같은 다양한 수학적 주제와 밀접한 관련이 있다.

정수론은 그 자체로 다양한 문제를 포함하며, 대표적인 예로는 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem), 골드바흐의 추측(Goldbach's Conjecture) 등이 있다. 이러한 문제들은 오랫동안 미해결 상태로 남아 있었으며, 많은 수학자들에 의해 연구되었다.

정수론은 또한 컴퓨터 동료 연산(algorithmic number theory) 등의 현대적인 접근 방식을 통해 발전하고 있다. 이는 정수론의 문제를 해결하기 위해 컴퓨터 알고리즘을 이용하는 분야로, 대규모 데이터의 처리 및 복잡한 수학적 구조의 분석에 기여한다.

결론적으로, 정수론은 정수의 깊이 있는 성질과 그 관계를 탐구하며, 수학적 사고의 발전에 중요한 역할을 해온 분야이다.