오일러 지표(Euler characteristic)는 위상수학에서 매우 중요한 개념으로, 주어진 공간의 위상적 성질을 나타내는 실수 값이다. 이 지표는 특정한 도형이나 공간의 형태를 숫자로 표현함으로써, 그 공간이 가지는 구조적 특징을 간단하게 설명할 수 있게 해준다. 오일러 지표는 주로 다면체나 다각형과 같은 기하학적 구조뿐만 아니라, 더 일반적인 위상 공간에도 적용할 수 있다.

오일러 지표는 일반적으로 다음과 같이 정의된다. 유한한 다면체를 고려할 때, 이 다면체의 오일러 지표는 정점의 개수(V), 면의 개수(F), 그리고 모서리의 개수(E)와의 관계를 나타내는 식으로 표현된다. 이 관계는 E - V + F = χ (여기서 χ는 오일러 지표)를 만족한다. 따라서, 정점, 모서리, 면의 개수를 알면 오일러 지표를 쉽게 계산할 수 있다.

오일러 지표는 다양한 종류의 다면체에 대해 일관되게 적용되며, 특히 볼록 다면체의 경우 오일러 지표는 항상 2로 수렴한다. 예를 들어, 정육면체, 정사면체 등의 경우도 오일러 지표를 계산하면 모두 2라는 결과를 얻는다. 그러나 비볼록 다면체나 더 복잡한 위상 공간의 경우, 오일러 지표는 다소 복잡해질 수 있으며, 다른 특성을 반영할 수 있다.

이 외에도 오일러 지표는 서로 다른 차원에서 다양한 위상 공간을 분류하는 데 유용하다. 예를 들어, 구(S^2)의 오일러 지표는 2이며, 원환면(T^2)의 경우 0이다. 이러한 값들은 각각의 topological space가 가지는 기본적인 성질을 반영하며, 위상적 변환이 일어날 때 오일러 지표가 어떻게 변화하는지를 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 따라서 오일러 지표는 위상수학에서 기초적인 도구로 자리잡고 있으며, 여러 분야에서 활용될 수 있다.