오일러 정리(Euler's theorem)는 수론에서 중요한 결과로, 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 제안되었다. 이 정리는 두 수 \( a \)와 \( n \)이 서로소일 때, 즉 \( \gcd(a, n) = 1 \)인 경우에 적용된다. 오일러 정리는 다음과 같은 수식을 통해 표현된다.

\[ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (\text{mod} \ n) \]

여기서 \( \varphi(n) \)는 오일러 피 함수(Euler's totient function)로, \( n \)보다 작고 \( n \)과 서로소인 양의 정수의 개수를 나타낸다. 즉, \( n \)의 소인수로 나눌 수 없는 수의 개수를 계산하는 기능을 한다.

오일러 정리는 모듈러 산술에서 중요한 역할을 하며, 특히 암호학에서 RSA 알고리즘과 같은 응용에서 필수적인 원리를 제공한다. 오일러 정리는 또한 페르마의 소정리(Fermat's Little Theorem)의 일반화로 볼 수 있으며, 주어진 정수의 성질을 설명하는 데 유용하다.

예를 들어, \( n = 12 \)일 때, \( \varphi(12) = 4 \)이므로, \( a \)가 1, 5, 7, 11 중 하나라면 \( a^4 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 12) \)이 성립한다. 이를 통해 오일러 정리는 두 수가 서로소인 경우 나머지 연산의 주기성을 설명하는 데 기여한다.

오일러 정리는 수론의 많은 이론과 문제에서 활용되며, 이론적 연구뿐만 아니라 실제 응용에서도 중요한 수학적 도구로 자리 잡고 있다.