오일러 수열(Eulerian numbers)은 조합론에서 중요한 역할을 하는 수열로, 특정한 조건을 만족하는 순열의 수를 나타낸다. 이 수열은 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름에서 유래되었다.

오일러 수열 \( A(n, k) \)는 길이 \( n \)의 순열에서 \( k \)개의 상승 변곡점(rise) 또는 계단을 갖는 순열의 개수를 나타낸다. 상승 변곡점은 순열의 두 인접한 요소 \( a_i \)와 \( a_{i+1} \)에 대해 \( a_i < a_{i+1} \)일 때를 말한다. 따라서, \( A(n, k) \)는 길이 \( n \)의 순열 중에서 상승 변곡점이 정확히 \( k \)개인 것의 개수를 의미한다.

오일러 수열의 초기 값들은 다음과 같다:

- \( A(0, 0) = 1 \)

- \( A(n, 0) = 0 \) (단, \( n > 0 \))

- \( A(n, n) = 1 \) (모든 \( n \geq 0 \))

오일러 수열은 다음의 재귀 관계를 가진다:

\[

A(n, k) = (n - k) \cdot A(n - 1, k) + (k + 1) \cdot A(n - 1, k - 1)

\]

이 식은 \( n \)번째 숫자의 위치에 따라 두 가지 경우를 나누어 계산하는 방식으로, \( n-1 \) 항에서의 값을 기반으로 한다.

오일러 수열은 다양한 조합론적 문제에 응용될 수 있으며, 특히 순열의 구조적 성질을 연구할 때 유용하다. 이를 통해 특정한 패턴을 지닌 순열이 얼마나 존재하는지를 분석할 수 있다.