실해석학(Real Analysis)은 수학의 한 분야로, 실수체계와 관련된 함수, 극한, 연속성, 미분, 적분 등의 개념을 다룬다. 주로 실수의 성질 및 실수 위에서 정의된 함수들의 분석적 성질을 연구하는 분야로, 다양한 응용 분야와 밀접하게 연관되어 있다. 실해석학은 공학, 물리학, 경제학 등 여러 과학적 분야에서 기초 이론으로 활용되며, 수학적 rigor(엄밀함)을 강조하는 점에서 매우 중요하다.

실해석학의 기본 개념 중 하나는 극한(limit)이다. 극한은 수열이나 함수의 값이 특정 점에 가까워질 때의 동작을 다룬다. 이를 통해 연속성, 미분 가능성, 적분 가능성 등의 정의가 산출된다. 극한 개념은 수학적 분석의 기초를 이루며, 미적분학에 뿌리를 두고 있음에도 불구하고, 그 자체로도 심도 있는 연구 대상이다. 또한, 실해석학에서는 콜모고로프 극한 정리와 같은 중요한 정리들이 제시되어 극한의 성질에 대한 깊은 통찰을 제공한다.

또한 연속성(continuity)도 중요한 개념이다. 연속함수는 특정 구간 내에서 끊김 없이 정의된 함수로, 이는 실제 세계의 많은 현상을 모델링하는 데 유용하다. 연속성의 개념은 둘 이상의 함수 간의 관계를 이해하는 데 필수적이며, 이를 통해 함수의 조작 및 변형이 가능해진다. 이와 관련하여, 연속 함수의 극한, 합성 함수의 연속성, 및 중간값 정리와 같은 다양한 성질도 깊이 연구된다.

미분과 적분의 개념도 실해석학에서 중요한 역할을 한다. 함수의 미분은 함수의 변화율을 나타내며, 이는 물체의 속도나 경제적 변화율 등을 분석하는 데 필수적이다. 반면 적분은 함수의 면적을 측정하고, 누적량을 구하는 데 사용된다. 실해석학에서는 기본정리인 미적분학의 기본정리가 강조되며, 이는 미분과 적분 간의 관계를 보여준다. 이처럼 실해석학은 수학의 기초를 형성할 뿐만 아니라, 다양한 분야에서 실용적인 응용을 가능하게 하는 중요한 수학적 기초를 제공한다.