선형대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra)는 행렬 이론에서 가장 핵심적인 원리 중 하나로, 임의의 행렬이 정의하는 네 가지 기본 부분공간 사이의 관계를 기술한다. 미국의 수학자 길버트 스트랭(Gilbert Strang)에 의해 체계화된 이 정리는 행렬 $A$의 차원, 계수(Rank), 그리고 공간의 직교성을 통합적으로 설명한다. 이는 선형 방정식의 해의 존재성과 유일성을 판단하는 수학적 토대가 된다.

기본정리가 다루는 네 가지 부분공간은 열공간(Column Space), 행공간(Row Space), 영공간(Null Space), 그리고 좌영공간(Left Null Space)이다. $m \times n$ 행렬 $A$에 대하여, 열공간 $C(A)$는 $A$의 열벡터들의 선형 결합으로 형성되는 $\mathbb{R}^m$의 부분공간이며, 행공간 $C(A^T)$는 행벡터들의 선형 결합으로 이루어지는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이다. 영공간 $N(A)$는 $Ax=0$을 만족하는 모든 벡터 $x$의 집합이며, 좌영공간 $N(A^T)$는 $A^Ty=0$을 만족하는 모든 벡터 $y$의 집합을 의미한다.

정리에 따르면, 행공간과 열공간의 차원은 항상 같으며 이를 행렬의 계수 $r$이라 정의한다. 이때 영공간의 차원은 전체 열의 개수 $n$에서 계수 $r$을 뺀 값($n-r$)이 되며, 좌영공간의 차원은 전체 행의 개수 $m$에서 계수 $r$을 뺀 값($m-r$)이 된다. 이는 '차원 정리(Rank-Nullity Theorem)'의 핵심 내용을 포함하며, 행렬이 입력 벡터를 변환할 때 보존되는 정보와 소실되는 정보의 차원을 정량적으로 보여준다.

또한 기본정리는 이 공간들 사이의 기하학적 직교성을 명시한다. $n$차원 벡터 공간에서 행공간과 영공간은 서로 직교 보공간(Orthogonal Complement) 관계에 있으며, $m$차원 벡터 공간에서 열공간과 좌영공간 역시 서로 직교 보공간을 이룬다. 즉, 행공간의 모든 벡터는 영공간의 모든 벡터와 수직이며, 두 공간의 차원의 합은 전체 차원 $n$과 일치한다. 이러한 직교 분해는 복잡한 벡터 공간을 독립적인 구조로 나누어 분석할 수 있게 한다.

이 정리는 선형 시스템 $Ax=b$의 해를 분석하는 데 결정적인 역할을 한다. 방정식의 해가 존재하기 위해서는 벡터 $b$가 반드시 행렬 $A$의 열공간 안에 존재해야 한다. 만약 $b$가 열공간 밖에 위치하여 해가 존재하지 않는 경우, 좌영공간과의 직교 관계를 이용한 최소제곱법(Least Squares Method)을 통해 최적의 근사해를 구할 수 있다. 결과적으로 선형대수학의 기본정리는 행렬의 대수적 성질과 공간의 기하학적 구조를 하나로 연결하는 중추적인 역할을 수행한다.