산술함수(Arithmetic function)는 주로 정수에 대한 수학적 함수로, 정수 집합의 원소를 입력으로 받아 정수 값을 출력하는 함수다. 산술함수는 각 정수의 약수, 소수성 등의 성질을 분석하는 데 유용하다. 이 함수들은 주로 정수론에서 중요한 역할을 하며, 다양한 수학적 문제의 해결에 기여한다. 산술함수는 본질적으로 각 정수 n에 대해 f(n)이라는 형태로 표현되며, n의 특정한 성질이나 구조를 반영하는 값을 가져온다.

산술함수의 대표적인 예로는 분할 함수와 소수함수를 들 수 있다. 분할 함수 p(n)은 정수 n을 만들기 위한 서로 다른 정수의 합으로 나타내는 방법의 수를 나타낸다. 예를 들어, p(4) = 5는 4를 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4로 표현할 수 있는 5가지 방법이 있음을 의미한다. 소수함수 π(n)은 n 이하의 소수의 개수를 세는 함수로, 주어진 범위 내의 소수의 분포를 이해하는 데 필수적이다.

산술함수는 여러 가지 성질을 가진다. 특히, 두 산술함수의 합, 곱, 또는 합성 등이 새로운 산술함수를 생성하는 성질이 있다. 더불어, 많은 산술함수는 서로 긴밀한 관계를 가지고 있으며, 이들을 통해 더 복잡한 수학적 구조를 탐구할 수 있다. 예를 들어, 소수의 분포를 연구하는 데 있어서 리만 가설과 같은 고급 주제에도 연결된다.

마지막으로, 산술함수는 컴퓨터 과학과 암호학 같은 실용적인 분야에서도 응용된다. 예를 들어, 데이터 암호화 알고리즘에서는 소수와 그 성질을 이용한 계산이 필수적이다. 또한, 다양한 알고리즘의 성능 분석에 있어 산술함수의 특성을 활용할 수 있다. 이처럼 산술함수는 순수 수학뿐만 아니라 응용 수학에서도 광범위하게 사용된다.