분배함수, 또는 통계역학에서의 분배 함수는 물리계의 상태와 그 상태의 확률 분포를 나타내는 중요한 수학적 함수이다. 일반적으로 추상적으로 표현할 때, 분배함수는 기체 분자 혹은 다른 입자들이 차지할 수 있는 에너지 상태의 모음을 고려하여 정의된다. 통계역학에서는 주로 두 가지 형태의 분배함수를 다룬다. 하나는 볼츠만 분배함수이고, 다른 하나는 퀀텀 분배함수이다.

볼츠만 분배함수는 주로 고전적 계를 다룰 때 사용되며, 시스템의 온도 T와 에너지 E에 따라 입자의 에너지 상태에 대한 확률을 제공한다. 이 함수는 다음과 같이 정의된다. Z = Σ e^(-E/kT), 여기서 Σ는 모든 가능한 상태에 대한 합을 나타내고, k는 볼츠만 상수이다. 이 함수를 통해 특정 온도에서 각 상태의 상대적 확률을 계산할 수 있으며, 이를 통해 계의 열역학적 성질을 추출할 수 있다.

퀀텀 분배함수는 양자역학적 계를 다루며, 이는 주로 페르미온과 보존의 통계적 성질을 고려한다. 퀀텀 분배함수는 Fermi-Dirac 통계나 Bose-Einstein 통계를 이용하여 정의되며, 이 함수는 입자들이 에너지 상태를 어떻게 채우는지를 나타낸다. 예를 들어, Fermi-Dirac 분배함수는 전자와 같은 페르미온의 분포를 설명하며, Bose-Einstein 분배함수는 보존과 같은 입자의 분포를 설명한다. 이러한 분배함수는 양자 시스템의 열적 성질과 상호작용을 바탕으로 하므로 복잡한 물리 현상을 촉진하는 핵심적인 역할을 한다.

분배함수는 열역학의 기초적인 개념인 대칭성과 자유 에너지의 개념과 밀접한 관련이 있다. 분배함수를 통해 계산된 값을 바탕으로 시스템의 헬름홀츠 자유 에너지나 깁스 자유 에너지를 산출할 수 있으며, 이는 시스템의 안정성 및 상변화를 이해하는 데 필수적이다. 또한, 분배함수는 상전이 이론 및 비평형 통계역학 분야에서도 중요한 역할을 한다. 이를 통해 물리는 미시적인 수준에서의 입자 상태와 거시적인 열역학적 성질 간의 깊은 관계를 탐구할 수 있다.