부등식은 수학에서 두 수, 표현식, 또는 수학적 객체의 크기 관계를 나타내는 수식이다. 일반적으로 부등식은 '<' (작다), '>' (크다), '≤' (작거나 같다), '≥' (크거나 같다) 등의 기호를 사용하여 표현된다. 부등식은 방정식과 달리 두 항이 정확히 같은 값을 가지는 것이 아니라, 하나의 항이 다른 항보다 더 크거나 더 작은 경우를 설명하는 데 사용된다. 이러한 특성 덕분에 부등식은 다양한 수학적 문제에서 중요한 역할을 한다.

부등식의 기본적인 성질은 여러 가지가 있다. 예를 들어, 같은 수를 부등식의 양쪽에 더하거나 빼면 부등식의 방향은 바뀌지 않는다. 또는 양쪽에 같은 양수를 곱하거나 나누는 경우도 부등식의 방향이 변화하지 않는다. 하지만 음수를 곱하거나 나누는 경우에는 부등식의 방향이 바뀐다. 이러한 성질들은 문제를 풀거나 다양한 수학적 상황을 분석하는 데 유용하게 활용된다.

부등식은 단순한 숫자의 비교 뿐만 아니라 복잡한 수식에도 적용될 수 있다. 예를 들어, \( ax + b < cx + d \) 형태의 부등식은 변수를 포함하며, 이를 통해 변수의 값을 찾거나 특정 조건을 만족하는 해를 제시할 수 있다. 이처럼 변수와 관련된 부등식을 풀기 위해서는 여러 가지 대수적 기법을 사용할 수 있으며, 이 과정에서 함수의 그래프적 해석 또한 중요한 역할을 한다.

부등식은 실생활에서도 광범위하게 사용된다. 예를 들어, 경제학에서 비용과 수익을 비교하거나, 공학 분야에서 힘과 저항을 상대적으로 비교할 때 부등식을 활용한다. 또한 통계학에서도 확률적 사건의 관계를 분석할 때 부등식을 사용할 수 있다. 이러한 다양한 분야에서의 응용은 부등식이 수학적 이론에서만 국한되지 않고, 실제 문제 해결에서도 중요한 도구임을 보여준다.