병리적 함수(pathological function)는 일반적인 연속 함수나 미분 가능한 함수와 달리, 특정한 성질이 결여된 함수로 정의된다. 이러한 함수는 종종 수학적 분석이나 해석학에서 연구되며, 일반적으로 "비정상적"인 성격을 지닌 함수들로 여겨진다. 병리적 함수의 대표적인 예로는 리만 적분이 불가능한 함수, 특정 구간에서 미분 불가능한 함수, 또는 연속적이지 않으면서 동시에 주기성을 띤 함수 등이 있다.

병리적 함수는 주로 수학적 이론의 경계조건을 탐구하는 데 중요한 역할을 하며, 이러한 함수의 예시로는 좁은 의미에서 어떤 특정한 성질이 파괴된 함수들이 포함된다. 예를 들어, 단순하게 정의된 계단 함수, 귀납적으로 정의된 함수, 또는 성질이 극단적으로 파괴된 경우가 포함될 수 있다. 이처럼 병리적 함수는 수학적인 논리에 도전하며, 수학적 통찰력과 고찰을 요구한다.

병리적 함수의 연구는 특히 함수의 연속성, 미분 가능성, 적분 가능성 같은 기본 개념의 한계를 조명하는 데 기여하며, 그로 인해 수학적 원리와 구조에 대한 이해를 깊게 만든다. 이러한 함수들은 또한 기하학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 응용될 수 있으며, 특정 조건이나 상황에서의 비정상적인 거동을 모델링하는 데 사용된다.