방멱 정리(Power of a Point Theorem)는 평면 기하학에서 원과 점, 그리고 그 점을 지나는 직선들 사이의 비례 관계를 다루는 정리다. 한 점 $P$를 지나고 원과 만나는 직선들이 있을 때, 점 $P$에서 원과의 교점까지의 거리들의 곱이 일정하다는 성질을 핵심으로 한다. 이때 일정하게 유지되는 값인 $d^2 - r^2$($d$는 원의 중심과 점 $P$ 사이의 거리, $r$은 원의 반지름)을 점 $P$의 원에 대한 '방멱'이라 정의하며, 이 값은 점 $P$의 위치에 따라 양수, 음수 또는 0의 값을 가질 수 있다.

원 내부의 한 점 $P$에서 교차하는 두 현 $AB$와 $CD$가 있을 때, 방멱 정리에 의해 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$가 성립한다. 이는 두 삼각형 $PAC$와 $PDB$가 닮음이라는 성질을 통해 증명 가능하다. 원주각의 성질에 의해 같은 호에 대한 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이 되며, 대응변의 길이 비를 비례식으로 세워 정리하면 위와 같은 거리의 곱 관계가 도출된다.

점 $P$가 원의 외부에 위치하는 경우에도 할선들 사이에 동일한 논리가 적용된다. 원 밖의 점 $P$에서 원과 만나는 두 할선이 각각 원과 점 $(A, B)$ 및 $(C, D)$에서 만난다면, $PA \cdot PB = PC \cdot PD$가 성립한다. 이 경우에도 삼각형 $PAD$와 $PCB$의 닮음을 이용하여 증명할 수 있다. 점 $P$에서 원에 이르는 할선이 원과 만나는 두 점까지의 거리의 곱은 할선의 방향과 관계없이 항상 일정한 값을 유지한다는 것이 이 정리가 가진 불변의 성질이다.

할선 중 하나가 원에 접하는 접선인 경우, 이 정리는 특수한 형태로 변형되어 나타난다. 점 $P$에서 그은 접선이 원과 점 $T$에서 접하고, 점 $P$를 지나는 또 다른 할선이 원과 점 $A, B$에서 만난다면 $PT^2 = PA \cdot PB$가 성립한다. 이는 할선의 두 교점이 접점에서 하나로 겹쳐지는 극한의 상황으로 이해할 수 있으며, 삼각형 $PTA$와 $PBT$의 닮음을 통해 수학적으로 유도된다. 이 공식은 원과 직선의 접합 관계를 분석하거나 미지의 길이를 구하는 문제에서 매우 빈번하게 활용된다.

방멱 정리는 단순한 길이의 비례 관계를 넘어 여러 원 사이의 관계를 분석하는 데 중요한 기초가 된다. 특히 두 원에 대하여 방멱의 값이 같은 점들의 집합은 '근축(Radical Axis)'이라는 직선을 형성하며, 세 원의 근축이 한 점에서 만나는 '근심(Radical Center)'의 개념으로 확장된다. 또한 좌표평면 상에서 원의 방정식을 이용하여 점의 방멱을 대수적으로 정의할 수 있어, 기하학적 대상과 대수적 식을 연결하는 중요한 매개체 역할을 수행한다.