방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)은 주어진 벡터를 기반으로 구성되는 특별한 형태의 행렬이다. n개의 입력 값을 가진 벡터 x = [x₁, x₂, ..., xₙ]가 있을 때, n x n 방데르몽드 행렬 V는 다음과 같은 형태로 정의된다.

\[

V = \begin{pmatrix}

1 & x₁ & x₁^2 & \cdots & x₁^{n-1} \\

1 & x₂ & x₂^2 & \cdots & x₂^{n-1} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & xₙ & xₙ^2 & \cdots & xₙ^{n-1}

\end{pmatrix}

\]

이 행렬에서 각 행은 입력 벡터의 각 원소에 대응하며, 각 열은 그 원소의 거듭제곱으로 구성된다. 방데르몽드 행렬은 주로 다항식 근사 및 보간법에서 사용된다. 특히 다항식의 근을 찾는 문제에서 중요한 역할을 하며, 이러한 특성 덕분에 다양한 수치 해석 및 계산 문제에 응용된다.

방데르몽드 행렬의 주요 성질 중 하나는 행렬식이다. n개의 서로 다른 x 값이 주어졌을 때, 방데르몽드 행렬 V의 행렬식은 다음과 같은 수식으로 표현된다.

\[

\det(V) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)

\]

이 행렬식은 서로 다른 x 값들 사이의 차이의 곱으로 나타내어지며, 따라서 x 값이 서로 같을 경우 행렬이 종속적이 되어 행렬식이 0이 된다. 방데르몽드 행렬은 정의역의 특정 속성에 따라 유용하게 활용될 수 있으며, 이러한 수학적 특성과 응용 덕분에 수학 및 공학 분야에서 널리 연구되고 있다.