미분형식은 미분기하학과 미분위상수학에서 핵심적인 역할을 하는 수학적 개념이다. 이는 주로 매끄러운 다양체의 기하학적 및 물리적 성질을 연구하는 데 사용된다. 미분형식은 홀수 차원과 짝수 차원에서 정의될 수 있으며, 이는 분류의 기본이 된다. 미분형식은 기하학적 구조를 형성하고, 특정 타입의 함수나 형태를 정의하는 데 유용하다.

미분형식의 기본 개념은 미분가능한 함수가 있으며, 이를 통해 만든 선형 함수 체계가 있다. 특히, 1-form(1형식)은 주어진 점에서의 미분 가능한 경로의 접선에 대한 정보와 연결된다. 2-form(2형식)은 두 개의 방향을 가진 벡터의 상호작용을 나타내며, 이는 다각형 영역의 넓이를 추정하는 데 사용된다. 이러한 형식들은 외적을 사용하여 더 높은 차원의 형식을 생성할 수 있는 가능성을 제공한다.

미분형식은 또한 적분 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, Stokes 정리는 미분형식의 적분을 통해 다양체의 경계에 대한 성질을 연결하는 중요한 정리이다. 이는 물리학에서의 보존 법칙 및 필드 이론에서도 응용된다. 미분형식의 적분은 다양체의 통합적 성질을 밝히는 중요한 도구로 작용하며, 이를 통해 물리적 현상에 대한 깊은 이해를 가능하게 한다.

미분형식은 여러 분야에서 응용된다. 물리학에서는 전자기학, 유체역학, 일반 상대성이론과 같은 여러 이론을 설명하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 또한, 데이터 과학 및 머신러닝 같은 최신 분야에서도 미분형식의 개념이 활용되며, 데이터의 기하학적 구조를 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 이처럼 미분형식은 순수 수학적 연구뿐만 아니라 응용 수학에서도 매우 중요한 개념으로 자리 잡고 있다.