무리수는 유리수에 포함되지 않는 실수로, 분수 형태로 표현할 수 없는 수들을 의미한다. 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수이지만, 무리수는 그러한 방식으로는 접근할 수 없는 수이다. 이는 무리수가 소수점 아래에서 무한히 계속되거나 주기성이 없다는 특징을 가지기 때문이다. 예를 들어, √2, π, e와 같은 수들이 무리수의 대표적인 예로 알려져 있다.

무리수의 개념은 고대 그리스 시대부터 존재해 왔다. 피타고라스 학파는 모든 수가 유리수라고 믿었지만, 그들의 연구 중√2와 같은 수가 존재한다는 사실을 발견하게 되었다. 이는 그들에게 큰 충격을 주었으며, 수학적 사유의 방향성을 변화시키는 계기가 되었다. 이후 무리수는 수학적 분석과 정수론 등 여러 분야에서 중요한 역할을 하게 된다.

무리수의 예시로는 √3, √5, e, π 등 여러 가지가 있다. 이들 무리수는 각각 고유한 성질을 가지고 있으며, 수학적 계산에서 자주 사용된다. 예를 들어, π는 원주율로써 기하학적인 계산에 필수적인 값이며, e는 자연로그의 밑으로 다양한 과학적 및 수학적 컨텍스트에서 활용된다. 이러한 이유로 무리수는 수학적 이론과 실용적인 응용 모두에서 매우 중요한 개념이다.

무리수는 대수적 무리수와 초월수로 나눌 수 있다. 대수적 무리수는 다항식의 해로 표현될 수 있는 무리수로, 예를 들어 √2는 x² - 2 = 0의 해이다. 반면 초월수는 어떠한 다항식의 해로도 표현될 수 없는 무리수로, π와 e가 그 대표적인 예시이다. 이러한 분류는 수학의 다양한 분야에서 무리수의 성질과 활용을 이해하는 데 중요하다. 무리수는 수의 종류와 확장을 이해하는 데 필수적인 개념으로, 현대 수학의 기초적인 토대 중 하나로 자리 잡고 있다.