뫼비우스 함수(Möbius function)는 정수론에서 중요한 역할을 하는 특수한 함수로, 주로 정수의 소인수 분해와 관련하여 사용된다. 이 함수는 주어진 자연수 \( n \)에 대해 다음과 같이 정의된다.

1. \( n \)이 1일 때: \( \mu(1) = 1 \)

2. \( n \)이 제곱수의 곱이 아닐 때, 즉 \( n \)이 서로 다른 소인수 \( p_1, p_2, \ldots, p_k \)를 가지면:

\[

\mu(n) = (-1)^k

\]

여기서 \( k \)는 소인수의 개수이다.

3. \( n \)이 제곱수의 곱일 때, 즉 \( n \)의 소인수 분해 중 어떤 소소들이 두 번 이상 나타나면:

\[

\mu(n) = 0

\]

뫼비우스 함수는 주로 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)에서 중요한 역할을 한다. 이 공식은 수의 식이나 함수의 합을 편리하게 변환하는 도구로 사용되며, 특히 비재귀적 정의를 통해 특정 수열이나 함수의 값을 찾는 데 유용하다.

예를 들어, 정수 \( n \)에 대해 자주 등장하는 함수의 합과 뫼비우스 함수를 결합하여 원하는 결과를 도출할 수 있다. 이러한 성질은 주로 수론, 조합론 및 해석적 수론에서 널리 응용된다.

뫼비우스 함수는 다른 여러 수학적 분야와 연결되며, 소수의 분포와 관련하여 중요한 정보를 제공하는 데 기여한다. 이 함수는 각종 정수론적 성질을 연구하는 데 값을 발견하거나 증명하는 데 유용한 도구로 활발히 사용되고 있다.