몬티 홀 문제는 확률과 선택의 개념을 탐구하기 위한 흥미로운 퍼즐로, 원래 미국의 유명한 게임 쇼 "Let's Make a Deal"에서 유래됐다. 문제의 이름은 쇼의 진행자인 몬티 홀에서 유래한 것으로, 참가자가 세 개의 문 중 하나를 선택하는 상황에서 발생한다. 그 중 한 문 뒤에는 자동차와 같은 상금이 있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소와 같은 보상이 있다. 참가자가 문을 선택한 뒤, 진행자는 선택하지 않은 두 개의 문 중 하나를 열어 염소를 보여준다. 이후 진행자는 참가자에게 처음 선택한 문을 유지할 것인지, 아니면 열리지 않은 남은 문으로 바꿀 것인지를 물어본다.

몬티 홀 문제의 핵심은 선택을 바꾸는 것이 상금을 얻을 확률을 어떻게 변화시키는지에 관한 것이다. 직관적으로는 어떤 문을 선택해도 상금이 있는 문을 찾을 확률이 1/3, 두 번째 문으로 바꿀 경우 확률이 1/2가 되는 것처럼 보이지만, 실제로는 선택을 바꿀 경우 상금을 얻을 확률이 2/3로 증가한다. 이는 진행자가 어떤 문을 열 것인가에 대한 정보가 추가되면서 전체 확률 분포가 어떻게 변화하는지를 보여준다.

이 문제의 수학적 배경은 조건부 확률에 의존한다. 참가자가 첫 번째 문을 선택했을 때, 상금이 그 문 뒤에 있을 확률은 1/3이다. 반면, 앞서 열리지 않은 두 문 중에서 상금이 있을 확률은 2/3에 해당한다. 진행자가 염소를 보여주는 과정은 참가자의 선택을 바꿔야 하는 이유를 더욱 명확히 한다. 이유는 진행자가 고의적으로 염소가 있는 문을 열기 때문에, 최종 남은 문은 상대적으로 더 높은 확률로 상금이 있는 문이 된다.

많은 사람들은 몬티 홀 문제의 결과를 쉽게 받아들이지 않지만, 이는 인간의 직관과 확률에 대한 이해의 불일치를 나타낸다. 이로 인해 몬티 홀 문제는 심리학, 행동경제학 및 교육과학의 연구에서 중요한 주제로 다루어지곤 한다. 실제로, 몬티 홀 문제를 통해 사람들은 선택과 결정에 있어 정보의 유무가 어떻게 판단에 영향을 미치는지를 배우게 된다. 이러한 점 때문에 몬티 홀 문제는 단순한 퍼즐 그 이상으로, 확률론과 인간 행동에 대한 깊은 통찰을 제공하는 사례로 자리 잡았다.