마방진(魔方陣, magic square)은 n x n 크기의 정사각형 배열로, 각 칸에 숫자를 배치하여 각 행, 각 열, 그리고 두 대각선의 합이 모두 동일한 값을 이루도록 한 구성을 뜻한다. 이때의 동일한 값을 '마법 상수'라고 하며, n이 주어질 때 마법 상수는 다음과 같이 계산된다.

마법 상수 S는 다음 공식으로 표현된다:

\[ S = \frac{n(n^2 + 1)}{2} \]

여기서 n은 배열의 차원이다. 예를 들어, 3x3 마방진의 경우, S는 15가 된다.

마방진의 역사적 기원은 고대 중국과 인도, 아랍, 그리고 유럽에 이르기까지 여러 문명에서 발견된다. 대표적으로, 중국의 '구구단 도형', 인도의 '칸자리', 아랍의 수학자들이 기록한 마방진이 있다.

마방진은 여러 가지 방식으로 생성할 수 있으며, 그 중 대표적인 방법은 '루빅 스퀘어' 방법이다. 홀수 차원의 마방진을 만들기 위해, 일반적으로 "상승과 하강"의 원리를 사용하여 숫자를 배열하는 방법이 있다. 짝수 차원의 마방진은 보다 복잡한 규칙을 필요로 하며, 주로 '이반 대칭'과 같은 알고리즘들이 적용된다.

마방진은 수학적 탐구의 대상으로써, 또한 예술과 문화에서도 다양한 형태로 나타난다. 예를 들어, 이탈리아의 예술가인 피에트로 마르카리(Pietro Marcari)는 마방진을 활용해 웹 디자인 및 건축에 적용하기도 하였다. 현대에는 수학 교육과 게임 이론 등에서도 활용되며, 패턴 인식 및 대칭성을 이해하는 데 기초 자료로 이용된다.

마방진의 변형으로는 '완전 마방진', '비완전 마방진', '순서 마방진' 등이 있으며, 이들은 각각의 특성과 규칙이 다르다. 마방진은 단순한 숫자 배열 이상의 의미를 가지며, 수학적 사고를 자극하고 인간의 창의력과 패턴 인식 능력을 발전시키는 데 기여하고 있다.