르장드르 함수(Legendre function)는 주로 수학 및 물리학에서 나타나는 특수 함수 중 하나로, 주로 구면조화 함수의 일종이다. 이 함수는 일반적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.

P_n(x)로 표기되는 르장드르 다항식은 n이 비음이 아닌 정수일 때 정의되며, 이 다항식은 다음과 같은 재귀 관계를 가진다:

P_0(x) = 1,

P_1(x) = x,

P_n(x) = \frac{(2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)}{n} \quad (n \geq 2).

르장드르 함수는 정규 직교 함수로, 두 개의 함수 P_n(x)와 P_m(x) (n ≠ m)의 곱을 [-1, 1] 구간에서 적분하면 0이 된다:

\[\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) \, dx = 0 \quad (n ≠ m).\]

르장드르 함수는 물리학적 응용에서도 널리 사용되며, 특히 중력장, 전기장과 같은 구형 대칭 문제에서 나오는 해를 구하는 데 중요한 역할을 한다. 또한 이런 구형 문제의 해를 구할 때 이용되는 경계 값 문제에서도 필수적인 요소로 등장한다. 르장드르 다항식은 2차원 및 3차원에서의 라플라스 방정식의 해를 구하는 데도 활용된다.

이와 같은 이유로 르장드르 함수는 수학적 분석, 천체 물리학, 전자기학 등 다양한 분야에서 중요하게 다루어진다.