로그 적분 함수(로그적분함수, logarithmic integral function)는 수학에서 특정한 형태의 적분을 나타내는 함수로, 주로 수 이론과 해석학에서 다루어진다. 로그 적분 함수는 특별히 소수의 분포와 관련이 깊다.

로그 적분 함수 L(x)는 다음과 같이 정의된다:

\[ L(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t} \]

여기서 \( \log t \)는 t의 자연로그인데, \( t = 1 \)에서의 정의역을 고려할 때 로그 함수의 정의가 불가능하므로, 이 적분은 \( t = 0 \)에서 \( t = 1 \)을 제외하고 없어도 된다. 따라서 로그 적분 함수는 다음과 같이 정의된다:

\[ L(x) = \begin{cases}

\int_2^x \frac{dt}{\log t} & \text{if } x > 1 \\

0 & \text{otherwise}

\end{cases} \]

로그 적분 함수는 소수의 개수를 근사하는 큰 수의 함수로 자주 사용된다. 로그 적분 함수의 중요한 성질 중 하나는 다음과 같은 관계식에 의해 소수의 개수 π(x)와 밀접하게 관련이 있다는 것이다:

\[ π(x) \sim \frac{x}{\log x} \]

이 때, π(x)는 x 이하의 소수 개수를 나타내며, 로그 적분 함수를 사용함으로써 더 정확한 소수의 분포 예측이 가능하다.

로그 적분 함수는 x가 커질수록 그 값이 어떻게 성장하는지 이해하는 데 유용하며, 다양한 수학적 성질이 연구되고 있다. 계산적으로는, L(x)는 수치 적분 방법을 통해 근사값을 구할 수 있으며, 일반적으로 로그 적분 함수는 x가 커질수록 급격히 증가하는 형태를 가진다.

로그 적분 함수는 수학적 분석, 특히 수 이론의 중요한 결과를 설명하는 데 필수적인 역할을 하며, 소수의 행동이나 분포에 대한 깊은 통찰을 제공한다.