랜덤 매트릭스는 요소들이 확률적인 방법으로 채워진 매트릭스를 의미한다. 이 매트릭스는 통계학, 물리학, 정보 이론, 그리고 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 랜덤 매트릭스 이론은 이러한 매트릭스의 특성을 연구하는 분야로, 주로 고유값 분포와 관련된 문제를 다룬다.

랜덤 매트릭스는 일반적으로 두 가지 방식으로 정의된다. 첫 번째 방식은 각 요소가 독립적으로 동일한 분포를 따르는 경우이다. 예를 들어, 가우시안 랜덤 매트릭스는 각 요소가 독립적으로 정규분포를 따르는 매트릭스다. 두 번째 방식은 요소들 간의 상관관계를 가지는 경우로, 이 경우 랜덤 매트릭스는 특정한 구조적 속성을 가질 수 있다.

랜덤 매트릭스 이론의 주요 관심사 중 하나는 고유값과 고유벡터의 분포이다. 특히, 큰 차원에서의 고유값의 통계적 성질은 물리학의 여러 문제와 연결되며, 예를 들어 양자역학의 복잡한 시스템이나, 무작위한 행렬에서 유도된 스펙트럼 이론과 관련이 깊다.

랜덤 매트릭스는 또한 신호 처리, 데이터 분석, 머신러닝 등의 분야에서 유용하며, 대규모 데이터의 구조적 특성을 이해하는 데 도움을 준다. 이와 같은 응용 공간에서 랜덤 매트릭스는 최적화 및 차원 축소 기법에서 중요한 도구로 사용된다.