독립시행이란 동일한 시행을 여러 번 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 상태를 의미한다. 즉, 어떤 사건이 일어날 확률이 매 시행에서 변하지 않고 일정하게 유지되는 경우를 말한다. 이는 확률론과 통계학에서 확률 변수의 거동을 이해하는 데 있어 가장 기초가 되는 개념 중 하나이다.

독립시행의 가장 대표적인 예로는 동전 던지기나 주사위 던지기를 들 수 있다. 동전을 한 번 던져서 앞면이 나왔다고 해서, 다음에 던질 때 뒷면이 나올 확률이 변하는 것은 아니다. 매번 던질 때마다 앞면이 나올 확률은 항상 2분의 1로 일정하다. 이처럼 이전의 결과가 현재나 미래의 결과에 어떠한 물리적 혹은 통계적 간섭도 일으키지 않을 때 이를 독립적이라고 정의한다. 주머니에서 공을 꺼낸 뒤 다시 집어넣는 복원 추출 역시 독립시행의 전형적인 형태이다.

수학적으로 독립시행의 확률은 이항분포와 밀접한 연관을 맺는다. 어떤 사건 A가 일어날 확률을 p라고 하고, 이 시행을 n번 반복했을 때 사건 A가 정확히 r번 일어날 확률은 조합(Combination)을 이용하여 계산한다. 구체적인 공식은 $P(X=r) = {}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$로 표현된다. 여기서 ${}_n\mathrm{C}_r$은 n번의 시행 중 사건이 일어날 r개의 위치를 선택하는 경우의 수를 의미하며, $p^r$은 사건이 r번 발생할 확률을, $(1-p)^{n-r}$은 사건이 발생하지 않을 나머지 확률을 뜻한다.

독립시행과 대비되는 개념은 종속시행이다. 종속시행은 앞선 시행의 결과에 따라 다음 시행의 확률이 변하는 경우를 의미한다. 예를 들어, 주머니에서 공을 하나 꺼낸 뒤 이를 다시 넣지 않는 비복원 추출은 다음 번에 특정 색깔의 공을 뽑을 확률에 영향을 주므로 종속적이다. 독립시행에서는 시행 횟수가 거듭되더라도 각 사건의 개별적 발생 확률은 독립성을 유지하며, 이는 대수의 법칙이나 중심한계정리 등 통계적 원리를 증명하는 기초 토대가 된다.

실생활에서 독립시행을 오해하여 발생하는 대표적인 심리적 오류로는 '도박사의 오류'가 있다. 이는 독립시행에서 특정 결과가 연속해서 발생했을 때, 다음에는 그와 반대되는 결과가 나올 차례라고 착각하는 현상이다. 예를 들어 룰렛에서 검은색이 다섯 번 연속으로 나왔다고 해서 다음에 빨간색이 나올 확률이 높아지는 것은 아니다. 독립시행의 원리를 정확히 이해하는 것은 이와 같은 논리적 오류를 방지하고, 확률 모델을 정확하게 설계하며 데이터를 분석하는 데 필수적이다.