도함수(導函數, derivative)는 미적분학에서 함수의 변화율을 나타내는 개념이다. 주어진 함수 \( f(x) \)의 도함수는 \( f \)가 주어진 점에서 어떻게 변화하는지를 수치적으로 표현하며, \( f \)의 기울기를 나타낸다. 도함수는 일반적으로 \( f'(x) \) 또는 \( \frac{df}{dx} \)로 표기된다.

도함수를 정의하기 위해서는 먼저 한 점에서의 변화율을 고려한다. 함수 \( f(x) \)가 주어졌을 때, 위의 점 \( x \)에서의 변화율은 다음과 같이 정의된다:

\[

f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

\]

여기서 \( h \)는 \( x \)에서의 작은 변화량을 의미하며, 극한의 과정은 \( h \)가 0에 가까워질 때의 함수의 기울기를 구하는 것이다.

도함수는 몇 가지 중요한 성질을 가진다. 첫째, 도함수는 함수의 증가 또는 감소를 나타내며, \( f'(x) > 0 \)인 구간에서는 함수 \( f(x) \)가 증가하고, \( f'(x) < 0 \)인 구간에서는 감소한다. 둘째, 도함수가 0인 점에서는 함수가 극값(최대값 또는 최소값)을 가질 가능성이 있다. 이러한 점을 비판점이라고 한다.

도함수는 또한 다수의 기하학적 해석을 제공한다. 실제로, 도함수는 함수의 접선의 기울기를 나타내며, 이는 그래프에서 함수의 형태를 이해하는 데 중요한 정보를 제공한다.

여러 가지 함수의 도함수를 구하는 미분법칙이 존재한다. 기본적인 도함수 규칙으로는 상수의 미분, 거듭제곱법칙, 곱셈법칙, 나눗셈법칙, 합성함수의 미분법(체인 룰) 등이 있다.

도함수는 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 응용되며, 예를 들어 물체의 속도, 가속도, 최대 이익 등의 개념을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.