대칭함수는 여러 변수로 이루어진 함수 중에서 그 변수가 교환되어도 값이 변하지 않는 특성을 가진 함수를 의미한다. 이러한 특성 때문에 대칭함수는 수학의 여러 분야, 특히 대수적 구조와 다항식, 선형대수, 계산기하학 등에서 중요한 역할을 한다. 대칭함수는 변수들 사이의 관계를 탐구하고 이해하는 데 도움을 주며, 이를 통해 다양한 수학적 문제를 해결할 수 있는 도구를 제공한다.

대칭함수는 주로 두 가지로 나누어질 수 있다. 첫 번째는 완전 대칭함수로, 모든 변수의 순열에 대해 같은 값을 가진다. 예를 들어, 세 개의 변수 x, y, z가 있을 경우, f(x, y, z)와 f(x, z, y)는 같은 값을 갖는다. 두 번째는 비대칭함수로, 일부 변수의 순열에 대해 다른 값을 가진다. 이러한 대칭성을 가지는 함수는 대칭 다항식 이론과 피터슨 기하학 등에서 중요한 역할을 하며, 대칭성을 가진 시스템을 연구하는 데 필수적이다.

대칭함수는 또한 두 가지 주요 하부 구조로 나뉜다: 정수 온라인 대칭함수와 비정수 대칭함수이다. 정수 온라인 대칭함수는 정수 집합에서 대칭적 성질을 가진 함수를 다루며, 이러한 함수는 정수 해를 가진 다항식의 탐색에 유용하다. 반면, 비정수 대칭함수는 실수 또는 복소수 집합에서 나타나는 대칭적 관계를 연구하며, 대수적 기하학의 중요한 주제로 자리 잡고 있다.

마지막으로, 대칭함수는 과학의 여러 분야에서도 나타나며, 물리학 및 화학 등에서 보존 법칙이나 대칭성의 원리를 적용하는 데 큰 도움이 된다. 이러한 함수는 시스템의 안정성과 동역학적 성질을 분석하는 데도 사용되며, 이처럼 대칭함수는 수학적 구조뿐만 아니라 현실 세계의 다양한 문제를 해결하기 위한 강력한 도구로 자리잡고 있다.