급수(급수)는 수학에서 수열의 항들을 더한 값을 의미하며, 이를 통해 다양한 수학적 개념과 현상을 이해하고 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 일반적으로 수열이란 특정한 규칙에 따라 나열된 수의 집합을 가리키고, 이 수의 집합의 합을 구하는 것이 급수이다. 즉, 급수는 수열의 부분합으로 정의할 수 있으며, 무한 급수의 경우에는 무한히 많은 항들을 더하는 과정을 포함한다.

급수는 크게 유한 급수와 무한 급수로 나눌 수 있다. 유한 급수는 finite series로 제한된 항의 수를 가진 경우로, 일반적으로 n개의 항의 합을 나타낸다. 예를 들어, A = a1 + a2 + ... + an이라는 형식이다. 반면 무한 급수는 infinite series로, 무한히 많은 항들이 포함되어 있으며, 일반적으로 'S = a1 + a2 + a3 + ...'와 같이 표현된다. 무한 급수를 다루는 데 있어 중요한 개념은 수렴과 발산이다. 수렴하는 급수는 유한한 값으로 합치는 반면, 발산하는 급수는 무한으로 커진다.

특정한 급수는 주어진 규칙에 따라 계산할 수 있으며, 그 중 대표적인 예로는 등차급수와 등비급수가 있다. 등차급수는 각각의 항이 일정한 값만큼 증가하거나 감소하는 형태로, 일반항을 a_n = a_1 + (n-1)d로 표현할 수 있다. 여기서 d는 공차이다. 등비급수는 각 항이 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 형태로, 일반항을 a_n = a_1 * r^(n-1)으로 나타낼 수 있다. 여기서 r은 공비이다. 이러한 급수들은 명확한 합 공식을 갖추고 있어 계산이 용이하다.

급수는 수학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 미적분학에서 중요한 역할을 한다. 무한 급수를 통해 함수의 근사와 해를 구하는 테일러 급수, 푸리에 급수 등이 존재한다. 이러한 급수들은 복잡한 함수나 문제를 단순화시켜 이해하기 쉽게 만들어준다. 또한, 급수를 통해 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 필요한 도구와 방법을 제공한다. 급수의 분석은 수학적 연구 및 응용에 있어 기본적인 기초를 다지는 중요한 과정이라고 할 수 있다.