유리함수(有理函數, rational function)는 두 다항식의 비로 표현되는 함수로, 일반적으로 다음과 같은 형태로 정의된다:

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]

여기서 \(P(x)\)와 \(Q(x)\)는 각각 다항식이며, \(Q(x) \neq 0\)인 경우에만 정의된다. 유리함수의 변수 \(x\)에 대한 정의域은 \(Q(x) = 0\)인 값들을 제외한 모든 실수 값으로 구성된다.

유리함수는 여러 가지 특성을 가지며, 그 중 주요한 몇 가지를 살펴보면 다음과 같다:

1. 정의역과 치역: 유리함수의 정의역은 분모 \(Q(x)\)가 0이 되는 x값을 제외한 모든 실수이다. 치역은 경우에 따라 다양한 형태를 가질 수 있으며, 유리함수의 그래프는 특정한 구간에서 수평, 수직 비대칭성을 가질 수 있다.

2. 비율의 성질: \(P(x)\)와 \(Q(x)\)의 차수에 따라 유리함수의 형태가 달라진다.

- \(P(x)\)의 차수가 \(Q(x)\)의 차수보다 크면, 함수는 수평 점근선을 가지지 않으며, 무한대에서의 거동이 주로 영향을 미친다.

- 두 다항식의 차수가 같을 때, 수평 점근선은 \(y = \frac{a}{b}\)로 결정되며, 여기서 \(a\)는 \(P(x)\)의 최고차항 계수, \(b\)는 \(Q(x)\)의 최고차항 계수이다.

- \(P(x)\)의 차수가 \(Q(x)\)의 차수보다 작을 경우, \(y=0\)인 수평 점근선을 가지게 된다.

3. 유리함수의 그래프: 유리함수는 일반적으로 분모의 근에 의해 그래프에 수직 점근선과 구멍이 생길 수 있다. 수직 점근선은 \(Q(x) = 0\)인 지점에서 발생하며, 구멍은 \(P(x)\)와 \(Q(x)\) 두 다항식의 공통인자에 의한 것으로, 이러한 특성은 그래프의 주형을 형성하는 중요한 요소가 된다.

4. 미분 및 적분: 유리함수는 미분 가능하며, 미분 과정에서 분할법칙을 사용하여 쉽게 미분할 수 있다. 또한, 유리함수의 적분은 부분적분 또는 대치적분법을 사용하여 해결할 수 있으며, 주로 자연로그 함수가 포함된 결과를 도출할 수 있다.

유리함수는 수학에서 중요한 개념이며, 특히 대수학, 해석학 및 공학 분야에서 활용된다. 그 특성은 함수를 분석하고 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 필수적인 도구가 된다.