다항함수(多項函數, polynomial function)는 여러 개의 항으로 구성된 수학적 함수로, 각 항은 변수의 거듭제곱과 상수 계수를 곱한 형태를 가지고 있다. 일반적으로 다항함수는 다음과 같은 형태로 표현된다. \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) 여기서 \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \)는 상수 계수이고, \( n \)은 비음이 아닌 정수로 다항함수의 차수를 나타낸다. 이러한 다항식에서는 각 항의 차수에 따라 항이 정렬되며, 최고의 차수를 가진 항이 다항함수의 차수를 결정한다.

다항함수의 중요성은 여러 분야에서 두드러진다. 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 과학적 분야에서는 다항함수를 이용해 복잡한 현상을 모델링하거나 예측하는 데 활용된다. 예를 들어, 물체의 운동을 설명할 때, 물체의 위치, 속도, 가속도를 다항함수로 표현할 수 있으며, 이로 인해 이해가 쉬워지고 문제를 해결하는 데 필요한 도구가 제공된다. 이는 고차원 문제나 비선형 시스템을 다루는 데 매우 유용하다.

또한 다항함수는 미적분학에서도 중요한 역할을 한다. 다항함수의 도함수를 계산하는 것은 상대적으로 간단하며, 이를 통해 함수의 극대값과 극소값, 그리고 증가와 감소 구간을 쉽게 분석할 수 있다. 이와 함께, 다항함수의 적분도 수학적 성질에 따라 간단하게 구할 수 있어, 다양한 응용문제에서 시용된다. 특히, 테일러 급수 전개와 같은 방법으로 연속함수를 다항식으로 근사화할 수 있어 수치해석에서도 한층 용이해진다.

마지막으로 다항함수는 그 근에 대한 성질을 통해 많은 중요한 결과를 도출할 수 있다. 다항함수의 근은 함수의 그래프와 x축이 만나는 지점을 나타내며, 이 근을 찾는 문제는 대수학과 수치해석 모두에서 주요한 난제 중 하나이다. 근의 개수를 이해하기 위해서는 대수적 기법이나 수치적 기법을 도입해야 하며, 이는 방정식의 해를 찾는 것과 밀접한 관련이 있다. 이처럼 다항함수는 다양한 수학적 개념과 문제 해결 방식에 핵심적인 역할을 한다.